בוגר החוג לקולנוע וטלוויזיה באוניברסיטת תל אביב.
את הפריצה הראשונה קיבל אביבי ב-1991, כאשר היה מראשוני המנחים בערוץ הילדים בגלגולו הראשון, ובו הנחה במשך מספר שנים.
בשנת 1993 זכה לחשיפה משמעותית, כשהשתתף בתוכנית הסאטירה המצליחה "החמישייה הקאמרית", לצד אביבי כיכבו קרן מור, דב נבון, רמי הויברגר ומנשה נוי.
עם סיום דרכה של "החמישייה הקאמרית" בשנת 1997, חזר אביבי להנחיה, של תוכנית האירוח "מקרה לילה" (1997) והשעשועון "כוכבים בריבוע" (1999), שתיהן ב"שידורי קשת" בערוץ השני.
בשנת 2000 כיכב אביבי בסדרת הדרמה המצליחה "הבורגנים", לצד חבריו ל"חמישייה", ב"שידורי קשת" בערוץ 2.
"הבורגנים" זכתה להצלחה רבה, ושידרה שלוש עונות עטורות שבחים ופרסים.
באותה תקופה עבר אביבי אל מאחורי-הקלעים, כשערך מספר תוכניות טלוויזיה, ביניהן "אחורי החדשות עם יאיר ניצני" (2003), ומונה בשנת 2005 לעמוד בראש מחלקת התוכן של ערוץ 10.
בשנת 2006 כיכב בסרטו זוכה פרס אופיר של דרור שאול, "אדמה משוגעת". באותה שנה יצר עם אשתו מיכל את הסדרה "בשורות טובות" וכיכב בה בתפקיד עצמו.
בשנת 2009 שיחק בסדרת המקור של HOT 3 "תמרות עשן" – סדרת דרמה העוסקת ביישוב ברמת הגולן שכל תושביו נעלמים, בהשתתפות צחי גראד, אפרת בן צור ומרינה מקסימיליאן בלומין.
בנוסף, לקראת סוף שנת 2009 השתתף בתוכנית "פעם בחיים", ונסע עם הזמר מוקי לישיבת התפוצות סמוך לקבר דוד שבירושלים.
בשנת 2012 החל לשמש כקריין הסדרה "בואו לאכול איתי".
בסוף שנת 2012 העלו אביבי ואשתו מיכל ליבדינסקי מופע אותו גם כתבו יחד ועוסק בחיי הזוגיות והנישואים. המופע רץ בהצלחה מאז, כבר למעלה מ600 הופעות.
בשנת 2015 השתתף בעונת ה-VIP של התוכנית "מאסטר שף" וניצח בגמר התוכנית.
הוא גילם באותה שנה את דמותו של המשנה לראש המוסד בסדרת המתח הטלוויזיונית "המדרשה".
ב2017 שיחק בסרטו של שבי גביזון, 'געגוע'.
בשנת 2020 החל שידור הסדרה "קיבוצניקים", בה גילם אביבי את אביו של הדמות הראשית.
באותה שנה, שיחק בסדרת הטלוויזיה "בלקספייס" ברשת 13.
אביבי זכה בשנה זו בפרס אופיר לשנת 2020 לשחקן הראשי הטוב ביותר על משחקו בסרט "הנה אנחנו" של ניר ברגמן.
בשנת 2022 השתתף עם מיכל בתוכנית 'המטבח המנצח' בשידורי קשת.